Геометрия · 10 класс ЕМН
Сетка целей и уровней (blueprint)
| № | Учебная цель (код МОН) | Тип | Уровень (спец. МОН) | Блум | DOK | Баллы |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 10.2.2 определять параллельные и скрещивающиеся прямые в пространстве | КО | Знание и понимание | Понимать | 1–2 | 2 |
| 2 | 10.2.3 знать и применять свойства параллельных прямых в пространстве | РО | Применение | Применять | 2 | 3 |
| 3 | 10.1.1 распознавать и изображать тетраэдр и параллелепипед | КО | Знание и понимание | Понимать | 1 | 2 |
| 4 | 10.2.4 признак и свойства параллельности прямой и плоскости | РО | Применение | Применять/Анализировать | 2–3 | 3 |
| 5 | 10.2.3 свойства параллельных прямых; подобие в пространстве | РО | Применение | Применять | 2 | 4 |
| 6 | 10.2.5 признак и свойства параллельности плоскостей | КО+РО | Навыки высокого порядка* | Применять/Анализировать | 2–3 | 6 |
* Подпункты 6(b) и 6(d) требуют построения обоснованного доказательства и анализа корректности готового рассуждения на реальной конструкции (каркас юрты). Двухуровневая сетка спецификации относит задание 6 к «Применению»; выделение навыков высокого порядка (Блум: анализировать/оценивать, DOK 3) — опция конструктора Robi для дифференциации сильных учеников. Это закрывает отмеченную в спецификации слабость «0 баллов на навыки высокого порядка». При строгом следовании спецификации всё задание 6 учитывается как «Применение».
Варианты работы
Задания варианта A
1. Скрещивающиеся жерди купола
2. Параллельные планки кереге и купол
3. Сортировка каркасных форм
4. Планка купола параллельна полу
5. Стеллаж: ригель параллелен полке
6. Тент между параллельными обручами
СУММАТИВНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
ЗА 1 ЧЕТВЕРТЬ
Геометрия · 10 класс ЕМН · Вариант A
Аксиомы стереометрии. Параллельность в пространстве
GEO10-Q1-VA
ID: STU-2026-0142
Деревянный каркас купольной беседки в этнопарке собран в форме прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 (рис. 1.1): ABCD — нижняя рама на земле, A1B1C1D1 — верхняя рама, вертикальные стойки AA1, BB1, CC1, DD1. Мастер натянул диагональную растяжку вдоль прямой AC1 (из нижнего переднего левого угла в верхний задний правый).
При сборке юрты планка кереге KL нижней решётки стены и планка обрешётки купола MN закреплены на разных частях каркаса — одна на стене, другая на куполе. Обе планки параллельны верхней связи PE обода: KL ∥ PE и MN ∥ PE (рис. 2.1). По чертежу «на глаз» взаимное расположение планок KL и MN определить нельзя — требуется обоснование.
Конструктор детского этно-городка предлагает 9 каркасных моделей-форм (рис. 3.1), помеченных буквами A–I. Нужно отобрать те, что являются параллелепипедами, и те, что являются тетраэдрами.
Купол юрты моделируют тетраэдром DABC: треугольное основание ABC лежит на горизонтальной плоскости пола, а вершина D — точка схода жердей уық под обручем шаңырака (рис. 4.1). Монтажную планку KM крепят так, что K — середина ребра AB, а M — середина ребра BC. Жердь основания AC — третье ребро основания.
Боковина металлического стеллажа имеет форму треугольника ABC: верхняя точка B, нижние опоры A (слева) и C (справа); нижняя перекладина AC = 20 см (рис. 5.1). Горизонтальная полка лежит в плоскости α, которая пересекает стойки AB и BC в точках E и K и параллельна нижней перекладине AC. Замер показал, что BE : EA = 2 : 3.
В большой шатровой юрте два горизонтальных обруча образуют параллельные плоскости: верхний обруч лежит в плоскости α, нижний — в плоскости β (α ∥ β). Две стяжки-троса AC и BD идут крест-накрест от верхнего обруча к нижнему и пересекаются в кольце-карабине K, расположенном между плоскостями. Точки A и B закреплены на α, точки C и D — на β. Измерения: AK : KC = 2 : 3, длина троса BD = 15 см (в масштабной модели).
Чертёж по условию задачи здесь НЕ даётся: его построение — часть задания, пункт (a).
Балл қою кестесі / Схема выставления баллов
СОЧ «Аксиомы стереометрии. Параллельность в пространстве» · Геометрия · 10 класс ЕМН · Вариант A
- «/» — равноценные альтернативы внутри одного элемента; засчитывается любая.
- Жирный в ответе — обязательный элемент (ссылка на признак/свойство должна прозвучать).
- ecf — error carried forward: балл за верное следствие из ранее допущенной ошибки (например, верное вычисление по неправильно составленной, но осмысленной пропорции).
- «Балл присуждается только за обоснованное решение» — численный ответ без ссылки на признак/свойство балл за обоснование НЕ получает.
- Принимаются эквивалентные методы и эквивалентные записи (⊂, ∥, ∩, ⇒ — наравне со словесной формой).
- Анти-угадывание (1b, 3): при требовании ровно N объектов каждый лишний/неверный элемент аннулирует балл; банк верных ответов шире требуемого числа.
- Единицы измерения (см) обязательны в финальном численном ответе; их отсутствие снимает последний балл.
| № | Ответ | Балл | Дополнительная информация |
|---|---|---|---|
| 1(a) | нет | 1 | В прямоугольном параллелепипеде ни одно ребро не параллельно пространственной диагонали AC₁. Принять «нет / не существует / параллельных рёбер нет». НЕ принимать любое названное ребро |
| 1(b) | Любые две из шести скрещивающихся с AC₁ рёбер: BB₁ / DD₁ / A₁B₁ / A₁D₁ / BC / DC | 1 | Балл только если обе прямые верны и обе действительно скрещиваются с AC₁ (не пересекают её и не параллельны). Каждая лишняя/неверная прямая аннулирует балл. НЕ принимать рёбра, проходящие через вершины A или C₁ и потому пересекающие AC₁: AB, AD, AA₁ (через A) и C₁B₁, C₁D₁, C₁C (через C₁) |
| 2 | Шаг 1 (свойство): две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой (теорема о трёх параллельных прямых / транзитивность параллельности в пространстве) | 1 | Балл за явную ссылку на свойство параллельных прямых в пространстве |
| Шаг 2 (подстановка): KL ∥ PE и MN ∥ PE (по условию) | 1 | Балл за корректное использование данных условия | |
| Шаг 3 (вывод): следовательно KL ∥ MN | 1 | Вывод обязателен. Ответ «скрещиваются» / «пересекаются» — 0 за этот шаг. Полное решение: KL ∥ PE, MN ∥ PE ⇒ KL ∥ MN | |
| 3(a) | C, E, H | 1 | Все три и только они. Каждая лишняя/пропущенная буква аннулирует балл (анти-угадывание). C — прямоугольный, E и H — наклонные параллелепипеды |
| 3(b) | A, G | 1 | Обе и только они. Любая лишняя буква аннулирует балл. Дистракторы: B, I — призмы; F — четырёхугольная пирамида; D — усечённая пирамида |
| 4(a) | K — середина AB, M — середина BC ⇒ KM — средняя линия треугольника ABC, поэтому KM ∥ AC (по теореме о средней линии треугольника) | 1 | Балл только за обоснованное решение со ссылкой на среднюю линию. «KM ∥ AC» без обоснования — 0 |
| 4(b) | Шаг 1: KM ∥ AC (доказано в 4a) и KM ⊂ (KMD) | 1 | Балл за указание, что прямая KM лежит в плоскости сечения (KMD) и параллельна AC |
| Шаг 2 (признак): прямая AC параллельна прямой KM, лежащей в плоскости (KMD), и AC ⊄ (KMD), следовательно AC ∥ (KMD) по признаку параллельности прямой и плоскости | 1 | Балл только за обоснованное решение с явной ссылкой на признак параллельности прямой и плоскости. ecf: если в 4a ошибочно, но осмысленно обоснована параллельность KM ∥ AC, шаг 2 засчитывается | |
| 5 | Шаг 1 (свойство): плоскость α пересекает плоскость (ABC) по прямой EK; AC ∥ α ⇒ AC ∥ EK (по свойству параллельности прямой и плоскости) | 1 | Балл только за обоснованное решение. Без ссылки на свойство — 0 за этот шаг |
| Шаг 2 (подобие): ∠B — общий; ∠BEK = ∠BAC (соответственные при EK ∥ AC, секущая AB) ⇒ △BEK ~ △BAC (по двум углам) | 1 | Принять также пару ∠BKE = ∠BCA (секущая BC). Балл за корректно обоснованное подобие | |
| Шаг 3 (пропорция): EKAC = BEBA; BE : BA = 2 : (2+3) = 2 : 5 ⇒ EK20 = 25 | 1 | Ключевой момент: отношение берётся к полной стороне BA, а не к EA. Принять EK/20 = 2/5 или эквивалент | |
| Шаг 4 (ответ): EK = 25·20 = 8 см | 1 | ecf: верное вычисление по своей пропорции (в т.ч. неправильно составленной, но осмысленной, шаг 3 = 0) — балл присуждается. Единицы (см) обязательны. Ответ: EK = 8 см | |
| 6(a) | Чертёж: две параллельные плоскости (голубые параллелограммы/обручи) — α сверху с точками A, B и отрезком AB; β снизу с точками C, D и отрезком DC; прямые AC и BD проведены крест-накрест и пересекаются в точке K между плоскостями | 1 | За верное построение по условию: обе плоскости параллельны, K лежит между ними, тросы пересекаются именно в K. Допускается любая корректная аккуратная проекция. Эталонный чертёж — SVG под таблицей |
| 6(b) | Шаг 1 (свойство ∥ плоскостей): через пересекающиеся прямые AC и BD проходит единственная плоскость (ABCD); она пересекает α и β по прямым AB и CD; так как α ∥ β, то по свойству параллельных плоскостей AB ∥ CD | 1 | Балл только за обоснованное решение со ссылкой на свойство/теорему о пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью |
| Шаг 2 (подобие): ∠AKB = ∠CKD (вертикальные); ∠KAB = ∠KCD (накрест лежащие при AB ∥ CD, секущая AC) ⇒ △AKB ~ △CKD (по двум углам) | 1 | Принять также пару ∠KBA = ∠KDC (секущая BD). Балл за корректно обоснованное подобие | |
| 6(c) | Шаг 1 (пропорция): из △AKB ~ △CKD: AKKC = BKKD = 23 | 1 | Пропорция составлена для треугольников, подобие которых доказано в 6(b). ecf при опоре на 6(b) |
| Шаг 2 (ответ): BK + KD = BD = 15; BK : KD = 2 : 3 ⇒ BK = 25·15 = 6 см | 1 | Принять решение через уравнение: x15−x = 23 ⇒ x = 6. Единицы обязательны. Ответ: BK = 6 см | |
| 6(d) | Неверно. При AK : KC = 1 : 4 имеем BK : KD = 1 : 4, тогда BK = 15·15 = 3 см ≠ 6 см, значит длина BK изменится | 1 | Балл только при наличии вычисления (BK = 3 см) И вывода «неверно». Голый ответ «неверно» без расчёта — 0. ecf от метода 6(c) |
| Итого | 20 |
Эталонный чертёж к 6(a) — только для проверяющего
Сводка эталонных решений (для проверяющего)
Задание 5. AC ∥ α ⇒ AC ∥ EK (свойство ∥ прямой и плоскости) ⇒ △BEK ~ △BAC по двум углам ⇒ EKAC = BEBA = 25 ⇒ EK = 25·20 = 8 см.
Задание 6(c). △AKB ~ △CKD ⇒ BKKD = AKKC = 23; BK + KD = 15 ⇒ BK = 25·15 = 6 см.
Задание 6(d). AK : KC = 1 : 4 ⇒ BK = 15·15 = 3 см ≠ 6 см — утверждение неверно.
Поэлементный анализ
| Элемент | Что проверялось | Цель МОН | Балл ученика / Макс |
|---|---|---|---|
| 1 (a) | Распознавание отсутствия параллельных рёбер у пространственной диагонали | 10.2.2 | 1 / 1 |
| 1 (b) | Определение скрещивающихся прямых на реальном каркасе назвал AB как скрещивающуюся, но AB пересекает AC₁ в точке A — анти-угадывание сняло балл | 10.2.2 | 0 / 1 |
| 2 | Применение транзитивности параллельности прямых в пространстве + обоснование получил KL ∥ MN, но не сослался на свойство «две прямые, параллельные третьей, параллельны» — шаг 1 не зачтён | 10.2.3 | 2 / 3 |
| 3 (a) | Распознавание параллелепипедов среди банка форм (прямой и наклонный) | 10.1.1 | 1 / 1 |
| 3 (b) | Распознавание тетраэдров; отсев призм/пирамид-дистракторов | 10.1.1 | 1 / 1 |
| 4 (a) | Применение теоремы о средней линии в пространственной конфигурации | 10.2.4 | 1 / 1 |
| 4 (b) | Доказательство параллельности прямой и плоскости по признаку вывод AC ∥ (KMD) записан, но без явной ссылки на признак — шаг 2 не зачтён | 10.2.4 | 1 / 2 |
| 5 | Свойство ∥ прямой и плоскости + подобие + пропорция к полной стороне взял отношение к EA, а не к полной стороне BA = 5 частей — шаг 3 не зачтён; вычисление по своей пропорции зачтено по ecf | 10.2.3 | 3 / 4 |
| 6 (a) | Построение чертежа по текстовому условию (две ∥ плоскости, секущие) | 10.2.5 | 1 / 1 |
| 6 (b) | Доказательство подобия с опорой на свойство параллельных плоскостей подобие по двум углам доказал, но не сослался на свойство параллельных плоскостей — шаг 1 не зачтён | 10.2.5 | 1 / 2 |
| 6 (c) | Вычисление отрезка через коэффициент подобия | 10.2.5 | 2 / 2 |
| 6 (d) | Анализ корректности чужого утверждения контрвычислением (навык высокого порядка) | 10.2.5 | 1 / 1 |
| Итого | 15 / 20 | ||
Освоение учебных целей
Рекомендации
Повторить определение скрещивающихся прямых (отличие от пересекающихся, цель 10.2.2), правило «отношение в подобных треугольниках берётся к соответственной ПОЛНОЙ стороне» и приучиться явно называть признак/свойство в каждом доказательстве (системная потеря баллов за обоснование в заданиях 2, 4(b), 6(b)). Сильная сторона — анализ чужого решения 6(d): верно показал, что BK = 3 см ≠ 6 см.Шкала: 0–39% низкий / 40–84% средний / 85–100% высокий