✓
Учебник
✓
Четверть
✓
Цели
4
Печатная форма
Алгебра и начала анализа · 10 класс ЕМН
СОЧ · 1 четверть · Спецификация СОЧ МОН РК (10 класс ЕМН) · функции, тригонометрические и обратные тригонометрические функции
Сетка целей и уровней (blueprint)
Спецификация СОЧ МОН РК + механики Cambridge IGCSE (AIT-улучшение)
| Задание | Учебная цель | Уровень (спец. МОН) | Блум | DOK | Тип | Время, мин | Баллы |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 10.4.1.4 описывать свойства функции по её графику | Применение | Понимать/Анализировать | 2 | КО | 3 | 3 |
| 2 | 10.4.1.5 свойства и график дробно-линейной функции y=(ax+b)/(cx+d), c≠0 | Применение | Применять | 2 | РО | 7 | 4 |
| 3 | 10.2.3.2 строить графики тригонометрических функций преобразованиями | Применение | Применять | 2 | РО | 7 | 4 |
| 4 | 10.4.1.7 распознавать сложную функцию f(g(x)) (декомпозиция) | Применение | Применять | 2 | РО | 5 | 2 |
| 5 | 10.4.1.7 составлять композицию функций (в контексте) | Применение | Применять | 2 | РО | 3 | 2 |
| 6 (a) | 10.2.3.4 знать определения/свойства обратных тригонометрических функций | Знание и понимание | Помнить/Понимать | 1 | МВО | — | 1 |
| 6 (b) | 10.2.3.5 строить график обратной тригонометрической функции | Применение | Применять | 2 | РО | — | 1 |
| 7 | 10.2.3.6 преобразовывать выражения с обратными тригонометрическими функциями | Навыки высокого порядка | Анализировать | 3 | РО | 8 | 4 |
| 8 | 10.2.3.7 решать простейшие уравнения с обратными тригонометрическими функциями | Применение | Применять | 2–3 | РО | 7 | 4 |
Знание и понимание — 1 б. (4%)
Применение — 20 б. (80%)
Навыки высокого порядка — 4 б. (16%)
Распределение точно соответствует двухуровневой сетке спецификации МОН: №6a — Знание и понимание, №7 — Навыки высокого порядка, остальное — Применение. Распределение по разделам: «Функция, её свойства и график» — 11 б. (№1, 2, 4, 5) · «Тригонометрические функции» — 4 б. (№3) · «Обратные тригонометрические функции» — 10 б. (№6, 7, 8). Время по заданиям: 3 · 7 · 7 · 5 · 3 · 5 · 8 · 7 = 45 мин. Типы заданий: КО — краткий ответ, РО — развёрнутый ответ, МВО — выбор ответа (в составе №6).
Варианты работы
Система генерирует варианты с теми же целями и сеткой баллов
Задания варианта A
8 заданий · 4 построения графиков · контексты из жизни (AIT) · диагностические дистракторы
1. Колесо обозрения в Астане
10.4.1.4 — свойства функции по графику
3 балла
2. Каршеринг: средняя цена за километр
10.4.1.5 — дробно-линейная функция, асимптоты
4 балла
3. Преобразования графика косинуса
10.2.3.2 — сдвиг и растяжение y = cos x
4 балла
f(g(x)) = 9x2 − 6x + 5
g(x) = 3x − 1 · f(x) = ?
g(x) = 3x − 1 · f(x) = ?
4. Восстановите внешнюю функцию
10.4.1.7 — декомпозиция сложной функции
2 балла
x → −15 % → −1000 ₸
f(g(x)) = ?
f(g(x)) = ?
5. Скидка и кэшбэк
10.4.1.7 — композиция функций в контексте
2 балла
6. Функция y = arccos(x − 1)
10.2.3.4–5 — область определения и график
2 балла
sin(π⁄2 − 2·arctg ½)
= 2cos2(arctg ½) − 1
= 2cos2(arctg ½) − 1
7. Преобразование выражения с арктангенсом
10.2.3.6 — приведение + двойной угол
4 балла
arccos(x2 − 4x + 3.5) = π⁄3
8. Уравнение с арккосинусом
10.2.3.7 — уравнение + проверка допустимости
4 балла
Фамилия, имя
Класс 10 «»
Дата
СУММАТИВНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
ЗА 1 ЧЕТВЕРТЬ
Алгебра и начала анализа · 10 класс ЕМН · Вариант A
Код работы:
ALG10-Q1-VA
ID: STU-2026-0142
ALG10-Q1-VA
ID: STU-2026-0142
Инструкция. Время выполнения работы — 45 минут. Максимальный балл — 25.
Читайте задания внимательно. Записывайте решения и ответы на этом листе: баллы начисляются за шаги решения, а не только за конечный ответ.
Задание 1. Колесо обозрения в Астане[3]
На набережной Есиля в Астане работает колесо обозрения. Высоту кабинки над землёй (в метрах) в зависимости от времени t (в минутах) описывает функция вида h(t) = A·sin(B(t − C)) + D. График функции h(t) за два полных оборота (0 ≤ t ≤ 16) показан на рис. 1.1. Пассажир садится в кабинку в момент t = 0 в нижней точке.
Рис. 1.1. Высота кабинки h(t) над землёй
(a) Запишите область значений функции h(t) и поясните её смысл: какова наименьшая и наибольшая высота кабинки над землёй?
[1]
(b) Определите период функции h(t) и поясните, что он означает для пассажира.
[1]
(c) В таблице 1.1 отметьте знаком «+» все промежутки времени, на которых кабинка поднимается (функция h(t) возрастает).
[1]
Таблица 1.1
| Промежуток времени, мин | (0; 4) | (4; 8) | (8; 12) | (12; 16) |
|---|---|---|---|---|
| Кабинка поднимается |
Задание 2. Каршеринг: средняя цена за километр[4]
В сервисе каршеринга поездка состоит из фиксированной платы за подачу автомобиля (700 ₸) и платы за расстояние (200 ₸ за каждый километр). Тогда средняя стоимость одного километра поездки (в тенге) при длине поездки x км (x > 0) задаётся дробно-линейной функцией
C(x) = 200·x + 700x.
(a) Запишите уравнение вертикальной асимптоты графика функции C(x).
[1]
(b) Запишите уравнение горизонтальной асимптоты и поясните её смысл в контексте поездки.
[1]
(c) Постройте график функции C(x) для x > 0 на сетке рис. 2.1.
[2]
Рис. 2.1. Сетка для построения графика C(x)
Задание 3. Преобразования графика косинуса[4]
Постройте на одной координатной плоскости (рис. 3.1) три графика, последовательно применяя преобразования к графику y = cos x.
(a) Постройте график функции y = cos x на промежутке [−π; π].
[1]
(b) В той же системе координат постройте график функции y = cos(x + π3).
[2]
(c) В той же системе координат постройте график функции y = 2·cos(x + π3).
[1]
Рис. 3.1. Сетка для построения графиков (a), (b), (c)
Задание 4. Восстановите внешнюю функцию[2]
Дана сложная функция
f(g(x)) = 9·x2 − 6·x + 5, где g(x) = 3·x − 1.
Найдите формулу функции f(x).
[2]
Место для решения
Ответ: f(x) =
Задание 5. Скидка и кэшбэк[2]
В интернет-магазине к цене товара x ₸ применяются последовательно две функции:
- сначала промокод даёт скидку 15 %: g(x) = 0.85·x;
- затем из полученной суммы вычитается кэшбэк 1000 ₸: f(y) = y − 1000.
Итоговая стоимость покупки равна композиции f(g(x)).
(a) Составьте и упростите формулу итоговой стоимости f(g(x)).
[1]
(b) Вычислите итоговую стоимость покупки для товара ценой x = 20 000 ₸.
[1]
Место для решения
Ответ:
Задание 6. Функция y = arccos(x − 1)[2]
(a) Укажите область определения функции y = arccos(x − 1). Выберите один верный ответ.
[1]
A) [−1; 1]B) [−2; 0]C) [0; 2]D) [0; π]
Ответ:
(b) Постройте график функции y = arccos(x − 1) на сетке рис. 6.1.
[1]
Рис. 6.1. Сетка для построения графика y = arccos(x − 1)
Задание 7. Преобразование выражения с арктангенсом[4]
(i) Покажите, что sin(π2 − 2·arctg 12) = 2·cos2(arctg 12) − 1.
[2]
Место для решения
(ii) Найдите значение выражения sin(π2 − 2·arctg 12).
[2]
Место для решения
Ответ:
Задание 8. Уравнение с арккосинусом[4]
Решите уравнение
arccos(x2 − 4·x + 3.5) = π3.
В решении покажите проверку допустимости (область значений аргумента арккосинуса).
[4]
Место для решения
Ответ: x1 = , x2 =
Балл қою кестесі / Схема выставления баллов
Суммативное оценивание за 1 четверть · Алгебра и начала анализа · 10 класс ЕМН · Вариант A
Конвенции. «/» — равноценные альтернативы внутри одного элемента; баллы начисляются за шаги решения (формула приведения → подстановка → вычисление → ответ), а не только за конечный ответ; ecf — error carried forward (балл за верное следствие из ранее допущенной ошибки); oe — or equivalent (принимать эквивалентную запись/метод); подчёркивание = элемент обязан прозвучать; «( )» — необязательный контекст. Баллы только целые, за ошибки баллы не вычитаются (positive marking).
| № | Ответ | Балл | Дополнительная информация |
|---|---|---|---|
| 1 (a) | Область значений E(h) = [5; 45]. Наименьшая высота 5 м (посадка внизу), наибольшая 45 м (верхняя точка) | 1 | Принять «5 ≤ h ≤ 45», «от 5 до 45 м». Балл только если указаны оба числа (и мин, и макс). Единицы (м) не обязательны |
| 1 (b) | Период T = 8 (мин); за 8 минут кабинка совершает один полный оборот | 1 | Принять пояснение своими словами с тем же смыслом. Только число «8» без смысла — балл ставить (смысл — необязательный контекст) |
| 1 (c) | «+» в столбцах (0; 4) и (8; 12) | 1 | Балл только при обоих верных «+» И отсутствии лишних «+». Любая лишняя отметка аннулирует балл (анти-угадывание) |
| 2 (a) | x = 0 (ось ординат) | 1 | Принять «вертикальная асимптота — ось Oy». Не принимать «x = 5» (ошибка переноса из шаблона) |
| 2 (b) | y = 200; смысл: при больших расстояниях средняя стоимость 1 км стремится к 200 ₸ | 1 | Балл за оба элемента: уравнение y = 200 и содержательное пояснение. Принять «цена за км приближается к 200 ₸» |
| 2 (c) | Пунктиром проведена горизонтальная асимптота y = 200; построена убывающая (выпуклая) ветвь гиперболы для x>0 через точки (1;900), (2;550), (3.5;400), (5;340), (7;300), (10;270), (14;250) | 1+1 → [2] | 1 балл — асимптота y=200 (показана/учтена) и верная форма ветви (убывает, приближается к 200 сверху). 1 балл — не менее трёх верно отмеченных точек. ecf: если в (b) получена иная ГА, ветвь с ней оценивается как верная |
| 3 (a) | График y = cos x на [−π; π]: max =1 при x=0; нули при x=±π/2; min =−1 при x=±π | 1 | Стандартная косинусоида с верными ключевыми точками |
| 3 (b) | График y = cos(x + π/3): сдвиг графика y=cos x влево на π/3. Ключевые точки: max при x=−π/3, нуль при x=π/6, min при x=2π/3, нуль при x=−5π/6 | 1+1 → [2] | 1 балл — верное направление и величина сдвига (влево на π/3; максимум смещён из x=0 в x=−π/3). 1 балл — сохранена форма (амплитуда 1, период 2π) и верно отмечены min/нули. ecf от (a) |
| 3 (c) | График y = 2·cos(x + π/3): растяжение вдоль Oy в 2 раза. max =2 при x=−π/3, min =−2 при x=2π/3 | 1 | Балл за верную амплитуду 2 при сохранённой фазе из (b). ecf от (b) |
| 4 | 9x2 − 6x + 5 = (3x − 1)2 + 4, т.е. f(g) = g2 + 4 | 1 | Выполнена попытка выделения полного квадрата / подстановки t=3x−1. Допускается ошибка в свободном члене (метод верный) |
| 4 | f(x) = x2 + 4 | 1 | Проверка: f(3x−1)=(3x−1)2+4 = 9x2−6x+5 ✓. ecf от предыдущего шага |
| 5 (a) | f(g(x)) = 0.85·x − 1000 | 1 | Принять oe: (0.85x − 1000). За обратный порядок f и g (g(f(x))=0.85x−850) — 0 баллов, но если далее верно вычислено по своей формуле — ecf на (b) |
| 5 (b) | g(20000)=17000; f(17000)=17000−1000 = 16000 (₸) | 1 | Выполнена подстановка x=20000 и доведено до числа. ecf от формулы в (a). Принять ответ «16 000 ₸» |
| 6 (a) | C) [0; 2] | 1 | Требуется −1 ≤ x−1 ≤ 1 ⟺ 0 ≤ x ≤ 2. Диагностика дистракторов: A [−1;1] — забыт сдвиг (взята область определения arccos по «голому» аргументу); B [−2;0] — неверное направление сдвига (решали x+1 вместо x−1); D [0;π] — спутана область определения с областью значений arccos [0; π] |
| 6 (b) | График y = arccos(x−1): убывающая дуга от точки (0; π) через (1; π/2) к точке (2; 0) | 1 | Чётко отслеживаются точки пересечения с осями и значение в середине; дуга убывает. Принять, если отмечены минимум две из трёх опорных точек и верное направление |
| 7 (i) | sin(π/2 − 2·arctg(1/2)) = cos(2·arctg(1/2)) | 1 | Применена формула приведения sin(π/2 − α) = cos α |
| 7 (i) | cos(2·arctg(1/2)) = 2·cos2(arctg(1/2)) − 1 | 1 | Применена формула косинуса двойного угла. Балл присуждается, даже если приведение в первом шаге выполнено неверно, но формула двойного угла применена верно |
| 7 (ii) | cos(arctg(1/2)) = 2/√5 (из прямоугольного треугольника: противолежащий 1, прилежащий 2, гипотенуза √5) | 1 | Принять нахождение через тождество cos(2α)=(1−tg2α)/(1+tg2α). oe |
| 7 (ii) | 2·(4/5) − 1 = 3/5 = 0.6 | 1 | ecf: при верном cos из предыдущего шага и верной подстановке — балл, даже если cos получен с ошибкой |
| 8 | x2 − 4x + 3.5 = cos(π/3) = 0.5 | 1 | Верный переход к простейшему уравнению (cos(π/3)=1/2) |
| 8 | x2 − 4x + 3 = 0 | 1 | Приведено к квадратному уравнению |
| 8 | Проверка допустимости: π/3 ∈ [0; π] (область значений arccos) ✓ и −1 ≤ x2−4x+3.5 ≤ 1; для обоих корней аргумент равен 0.5 ∈ [−1; 1] ✓ | 1 | Видно или подразумевается. Засчитывается также прямая подстановка корней в исходное уравнение |
| 8 | x1 = 1, x2 = 3 | 1 | По теореме Виета / дискриминанту: D=16−12=4, x=(4±2)/2. ecf от предыдущих шагов |
| Итого | 25 |
Сводка решений: эталоны построений (задания 2(c), 3, 6(b))
Эталонные графики для сверки при проверке. Допускаются отклонения в пределах половины клетки при верной форме и опорных точках.
Эталон 2(c): асимптота y = 200 (пунктир) и убывающая ветвь гиперболы C(x) = (200x + 700)/x
Эталон задания 3: (a) база, (b) сдвиг влево на π/3 — max в точке x = −π/3, (c) растяжение по Oy в 2 раза
Эталон 6(b): убывающая дуга y = arccos(x − 1) от (0; π) через (1; π/2) к (2; 0)
ТЕ
Поэлементный анализ
Каждый подпункт — отдельная строка: видно, что именно проверялось и где потерян балл
| Элемент | Что проверялось | Цель | Балл ученика / Макс |
|---|---|---|---|
| 1 (a) | Чтение области значений функции по графику (контекст: высоты кабинки) | 10.4.1.4 | 1 / 1 |
| 1 (b) | Определение периода по графику и его смысла указал период T = 16 мин — принял за период всю изображённую часть графика (два оборота) вместо одного | 10.4.1.4 | 0 / 1 |
| 1 (c) | Промежутки возрастания (монотонность) по графику отметил «+» только в (0; 4), пропустил (8; 12) — не распознал периодичность (та же ошибка, что и в (b)) | 10.4.1.4 | 0 / 1 |
| 2 (a) | Вертикальная асимптота дробно-линейной функции | 10.4.1.5 | 1 / 1 |
| 2 (b) | Горизонтальная асимптота и её смысл в контексте | 10.4.1.5 | 1 / 1 |
| 2 (c) | Построение графика дробно-линейной функции (асимптота + точки) | 10.4.1.5 | 2 / 2 |
| 3 (a) | График y = cos x (база) | 10.2.3.2 | 1 / 1 |
| 3 (b) | Преобразование «сдвиг по Ox» сдвинул график вправо вместо влево (перепутал знак сдвига в cos(x + π/3)); форма сохранена — частичный балл | 10.2.3.2 | 1 / 2 |
| 3 (c) | Преобразование «растяжение по Oy» (амплитуда) | 10.2.3.2 | 1 / 1 |
| 4 | Декомпозиция сложной функции: восстановление f(x) | 10.4.1.7 | 2 / 2 |
| 5 (a) | Составление композиции функций (контекст: скидка + кэшбэк) | 10.4.1.7 | 1 / 1 |
| 5 (b) | Вычисление значения композиции | 10.4.1.7 | 1 / 1 |
| 6 (a) | Область определения обратной тригонометрической функции (МВО) выбрал дистрактор A [−1; 1] — забыл учесть сдвиг аргумента (взял область определения arccos по «голому» x) | 10.2.3.4 | 0 / 1 |
| 6 (b) | Построение графика y = arccos(x − 1) построил дугу y = arccos x от (−1; π) до (1; 0) — следствие той же ошибки со сдвигом; ни одна опорная точка эталона не совпала | 10.2.3.5 | 0 / 1 |
| 7 (i) | Преобразование выражения: приведение + двойной угол | 10.2.3.6 | 2 / 2 |
| 7 (ii) | Вычисление значения (cos через треугольник) верно нашёл cos(arctg(1/2)) = 2/√5, но при подстановке ошибся в арифметике (получил 0.4 вместо 0.6); балл за метод по ecf, балл за ответ потерян | 10.2.3.6 | 1 / 2 |
| 8 | Решение простейшего уравнения с arccos + проверка допустимости дошёл до x₁ = 1, x₂ = 3, но не показал проверку допустимости аргумента arccos — потерян 1 балл за шаг ОДЗ | 10.2.3.7 | 3 / 4 |
| Итого | 18 / 25 | ||
Освоение учебных целей
Рекомендации
Рекомендация системы: повторить (1) определение периода по графику и использование периодичности при чтении свойств (зад. 1b, 1c); (2) учёт сдвига аргумента — «плюс внутри = влево» для графиков и сдвиг границ для области определения (зад. 3b, 6a, 6b); (3) обязательную проверку области значений аргумента в уравнениях с arcsin/arccos (зад. 8). Сильные стороны: чтение асимптот (зад. 2), декомпозиция и композиция функций (зад. 4, 5), формулы приведения и двойного угла (зад. 7i).
Проверено ИИ Robi (Claude API) · Подтверждено учителем
Шкала (рубежи МОН РК, 25 баллов): низкий 0–9 (0–39%) / средний 10–21 (40–84%) / высокий 22–25 (85–100%)
Шкала (рубежи МОН РК, 25 баллов): низкий 0–9 (0–39%) / средний 10–21 (40–84%) / высокий 22–25 (85–100%)